Cebir fonksiyonlarını, eliptik fonksiyonları, yüksek basamak transandantlarını, belirli integralleri vb. inceledi. Eliptik fonksiyonların çift devirliliğini ortaya koydu ve bu fonksiyonların toplam teoremini buldu.
Yeni bir denklem sınıfı olan "Abel denklemi"nin keşfi ona aittir. Niels Henrik Abel, 1829' da (yaş 27) Arendal'da sefalet içinde öldü.
Abel denklemi : Her kökü diğer köklerinden herhangi birinin fonksiyonu olarak rasyonel şekilde ifade edilebilen denklem. Bu denklemlerin çözülmesi, daha küçük dereceden denklemlerin çözümüyle olur.
Abel grubu : İkişerli komütatif dönüşümlerden meydana gelen grup.
Abel integrali : R (x, y)' nin rasyonel bir fonksiyon olduğu ve y' nin f (x, y) = 0 şeklinde bir bağlantıyla tanımlandığı integral.
Abel halkası : Çarpma kanununun komütatif olduğu, toplama kanununun mecburî olarak komütatif bulunduğu halka.
